体系数学闭合 · 完整陈述

纯数学口径：不含个股、不含经验判断。凡称「定理」者可纸上一行算出；凡称「检验」者已用有理数精确复核（Fraction，无浮点容差）。

残差成为单位（一格），体系即闭合；域由圆定、点由最小解定，窗即闭合。

一、先把「闭合」定义清楚

设标度量集合 Q = {R, Y, 45, 90, S₁…S₅}。

D0　称体系标度闭合，若 ∃ g > 0 : Q ⊂ g·ℤ（每个量都是 g 的整数倍）。

若 Q ⊂ gℤ 且 Q ⊂ g′ℤ，则 g/g′ ∈ ℚ，且最大者 g* = gcd(Q) 唯一存在。

∴ 闭合不是「误差为零」，是「存在一个公共单位」。全部工作就是求出 g*，并验证 g* = 9/2。

二、原子层：根源是三个素数 {2, 3, 5}

「根源 8 / 9 / 10」是构造层的说法，不是原子层 —— 三者全是合数：

8  = 2³        合数，可拆
9  = 3²        合数，可拆
10 = 2 · 5     合数，可拆

拆到底，看体系内七个核心量的素因子：

45   = 3² · 5
90   = 2 · 3² · 5
360  = 2³ · 3² · 5
80   = 2⁴ · 5
81   = 3⁴
g    = 3² / 2   = 9/2
Y    = 3⁶ / 2   = 364.5

七个量，素因子只用到 2、3、5 —— 一个素数也没多用。∴ 原子层 = {2, 3, 5}，不可再减。

「5」为什么必须是根源

45 = 5 × 9            母角 = 半基 × 方
10 = 2 × 5            十进 = 二分 × 半基
g  = 45 / 10 = (5 × 9) / (2 × 5) = 9 / 2

5 在「母角 ÷ 十进」中精确约去。这就是 g = 4.5 的全部来历：它不含 5，也不含 10，只剩 9/2。∴ 标准量与十进制无本质关系，只与「方（9）」和「二分（2）」有关 —— 十进制进体系只为「书写」，量本身是 9/2。

分段求和：5..9 这一段确有结构

等差求和定理（中位数 × 项数）三段同式：

1..4  : 中位数 5/2 × 4 = 10    ← 进位基本身
5..9  : 中位数 7   × 5 = 35
1..9  : 中位数 5   × 9 = 45    ← 母角
校验：35 + 10 = 45 ✔

三条读数：

1. 十进不是额外公设：Σ(1..4) = 10 —— 进位基恰等于前四个自然数之和。
2. 母角有两个读法：45 = 5 × 9（全段中位数 × 项数）＝ 35 + 10（高段和 + 低段和）。乘法读法更本质。
3. 5..9 的中位数是 7：35 = 7 × 5。这是 7 的唯一显形位置。

逐条判决

三层不可混

原子层   {2, 3, 5}
   │
构造层   8 = 2³ ,  9 = 3² ,  10 = 2·5
   │
常数层   45 , 80 , 81 , 90 , 360 , g , Y

8/9/10 是「怎么造」，2/3/5 是「拿什么造」。前者便于口述，后者才是不可再拆的根源。两说不矛盾 —— 一层之隔。

三、构造层生成常数

90  = 9 × 10     = 2·3²·5     方（直角）
81  = 9 × 9      = 3⁴         年格数
80  = 8 × 10     = 2⁴·5       圆格数
45  = 9 × 10 / 2 = 3²·5       母角 ＝ Σ(1..9) ＝ 5×9 ＝ 90/2
360 = 8 × 45     = 2³·3²·5    周天

唯一不具定理性质的是 90 = 9·10：它是三条约定之积恰等于第四条约定，称为约定共振 —— 不必然，但精确，故后续推导无近似误差进入。换一套约定（如周天 400 分），体系照样成立，只是数值不同。闭合要的是「同值」，不是某个数字。

四、标准量：一行给出 + 最大值刻画

g = 母角 / 十进 = (9·10/2)/10 = 9/2 = 4.5

这是唯一需要「选」的一步：以十进为单位去量母角。没有三路平均，没有拟合，没有容差。

定理（最大公共单位）　360 = 720/2、364.5 = 729/2、gcd(720,729) = 9 → gcd(360, 364.5) = 9/2。

最大性证明　设 g′ = (9/2)·m（m > 1）亦为公共单位，则 80/m、81/m 皆整 → m | gcd(80,81) = 1 → m = 1，矛盾。∎

数值反证：g′=9 → 364.5/9 = 40.5 非整；g′=13.5 → 360/13.5 = 26.67 非整；g′=4.5 → 80/81 皆整。

全篇最硬的连锁：

{8,9,10} 连续三整数 → 81 − 80 = 1 → 80 ⊥ 81
  → 9/2 是最大公共单位 → 唯一 → 闭合

此「1」来自恒等式 (n+1)² − n(n+2) ≡ 1 在 n = 8 的取值（方 = 中项平方，圆 = 首尾之积）。相邻 → 互质 → 单位最大 → 唯一 → 闭合。闰位与唯一性是同一件事。

五、五族：一条规则的五次取值

S = g · n = 4.5 n ，  n ∈ {27, 32, 12, 20, 20}

S/n ≡ 9/2 对五族恒成立 → 不是五条规则，是一条规则的五次取值。格宽恒 4.5 mm，物理上不允许横向缩放，差异只在「沿边取几格」。

推论　这是「箱体平行并列、不串联」的代数根据：五族共享同一个 g，箱与箱之间无嵌套、无递推。

九点箱与新股箱不是同族（易混点）

两族 n = 20、格宽 4.5 mm、边长 90 mm —— 三项全同。故凡只写「20 格」，必被读成同一族。区分不在尺寸，在记法与语义：

D1 记法不同，读法不同　9×20 是「高 × 根数」，90×90 是「毫米 × 毫米」。同尺寸两种量纲记法 → ⛔ 不得互称，⛔ 不得合并称「20 格」。

D2 w 的语义不同　新股 w = n = 20：窗恰容一箱，正方形被完全填充（u + d = 20，21 条刻度全用）。九点 w = 37 > n = 20：窗比箱宽 17 根，箱内仍是 20 格 —— 37 记的是纵向吃多少年，不是横向多少根。n 相同不蕴含 w 相同。

D3 45° 相同，刻度语义不同　两族横纵单位都是 4.5 mm，故对角恒 45.0000°。但新股「1 根 = 1 格」（时间与格同构）；九点「1 格 = 1.85 年」。∴ 45° 只保证像素等比，不保证时间刻度同类。把九点箱当「1 根 = 1 格」读，等于把 37 年幅度无声摊到 20 格上。

D4 锚的性质不同　新股用边界锚 t₀=0：t=0 前样本为空集，空集无极值 → 极值锚无定义，故只能用边界，无未来函数。九点用 37 年史极值，须事后确认 → 看盘口径含未来函数（选股不受影响）。

D5 代码级判别式　两族同属 DATA.M === 20，只能靠周期分流：period === 'year' → 九点（w=37）；其余 → 新股（w=20）。唯一出口 boxWinBars() / isNine()，⛔ 不得各写一份。

六、几何：45° 是恒等式，不是观察

层 1 结构　半对数下 P → kP ⟺ y → y + log k（等比即平移），平移保角 → 任何「横 n 根、纵 n 格」箱的对角恒为 arctan 1 = 45.0000000000°，与价格、标的、k 全无关。

层 2 不动点　S/2 = 45 → S = 90（唯一解）。90×90 之所以「天生 1:1」，因它是此方程的解，不因它长得方正。

层 3 标度　g = 45/10；桥为 90 = 2×45 = 20×4.5。∴ 90×90 是唯一在两种单位下同时取整的箱边。

尺子必须是圆　θ = arctan(b/a)，e = √(a²−b²)/a；圆 s = rθ 初等可逆，椭圆弧长为第二类椭圆积分、无闭式逆。e ≡ 0 是可计算性约束下的唯一解，不是偏好。椭圆度由纵向标度 k 完全吸收。

中点两法：(lo+hi)/2 与 hi/2

「中点」不是一个对象 —— 按分割的区间分两法，数值上只在 r = 4 处相撞。

甲 · 区间中点　天平两端各挂 lo 与 hi，支点取算术中点。三条可一行验证：HM · AM = GM² → p_AM + p_HM = 100%（对任意 r）；p_AM > 50% 恒成立（等号仅 hi = lo）；AM / GM = cosh A，A = ½ ln(hi/lo)。

乙 · 极高价二分　分母里没有 lo —— 它分的是 [0, hi]，即以零为基，故只等于「高价的一半」。位置 p₂ = 1 − ln2 / ln r，只由比值定。硬结论（双向可证）：正 r=4 → hi/2 = 2·lo = √(lo·hi) = GM；反 hi/2 = √(lo·hi) → hi² = 4·lo·hi → hi = 4·lo → r = 4。

七、代数几何同构：回踩之后为什么离开快、第 4 次为什么是 90°

前六节把「箱」定成一个等标度的正方形。本节只用这个正方形本身，不引入任何新参数、不设阈值。

归一化：把箱变成单位正方形

u = (i − a) / w              时间轴（根数 / 一箱根数）∈ [0, 1]
v = log10(P / P_lo) / D      价格轴（对数价 / 箱高）∈ [0, 1]
D = log10(hi / lo)

两轴同一把尺（4.5 mm/格），故第六节的 45° 线在归一化坐标里就是对角线 v = u。斜率 s = dv/du，角度 θ = arctan s，于是 s = 1 ⟺ 45°。

触底 = 回到 v = 0，而此时 u > 0

触底就是回到箱底。设最后一次触底在时刻 u（u > 0），该点为 (u, 0)，落在对角线下方（0 < u）。从它走到箱顶 (1, 1)，只有一条斜率可走：

s = (1 − 0) / (1 − u) = 1 / (1 − u)          ← 恒等式，不是经验拟合
θ = arctan s

一句话　s = 1 / 剩余时间。「离开快」不是价格强势，是剩余时间被回踩吃掉了 —— 这是除法，不是形容词。

顶是镜像　把纵轴翻过来照样成立：触顶 = 回到 v = 1，此时 u > 0，点 (u, 1) 在对角线上方，到箱底只有 s = −1/(1−u) 一条路 —— 同样越晚触顶、下行越陡。

第 4 次为什么是 90° 直角

三次对半把一圈切成 45°：360/2 = 180、180/2 = 90、90/2 = 45。八条射线每 45°、十二等分每 30°，是同一个圆的两套刻度。

三次触底落在 0° / 180° / 360° —— 走满一条直角边（⛔ 不是斜边）。第 4 次在 540°，已跨进下一个正方，相位与起点相同。此时 u → 1：

u → 1   →   s = 1/(1−u) → ∞   →   θ = arctan s → 90°

90° 对 45° 恰好是直角：方向被掰掉一半，从「斜着走」变成「直着走」。三条几何后果：

1. 垂直 = 时间不再前进，价格一步走完 —— 这就是「直下」（顶则同为「直上」）。
2. 垂直线上无处再放一个底：再回踩要再花「下 + 上」两段，剩余时间 1 − u 已容不下一段 → 这次离开就是最后一段。
3. 「不再回头」是结构，不是意愿 —— 这也是它看起来像「突破」的原因。

八、时间不等比，只归一

3 / 7 / 30 天，相邻比 2.33 / 4.29 / 1 —— 时间轴本身不是等比数列。真正等比的是价格轴：ρ = (hi/lo)^(1/n) 恒定，格线价 lo·ρ^k。

时间的职能只是归一：3 天一根、1 月一根，在图上都是 4.5 mm。跨周期可比性来自「每根都等于一格」，不来自「3 天与 1 月成比例」。

九、窗：两段式推导

定理 W1（容许域）

D = { d, d+1 : d | 360 }  ∩  { 4k, 4k+1 }
      ↑ 圆：窗须整分周天        ↑ 方：4 = 360/90，窗以正方计数

两条约束来源独立。360 的 24 个约数 ∪ 各自 +1，去重得 41（中间量）；再与 {4k,4k+1} 取交 → |D| = 27，可全部手列：

D = {1,4,5,8,9,12,13,16,20,21,24,25,36,37,40,41,45,60,61,72,73,120,121,180,181,360,361}

定理 W2（最小解唯一）

w = min ( D ∩ [ max(n, N) , +∞ ) )

D 离散有序、D ∩ [m,∞) 非空（360 ∈ D），由良序原理最小元存在且唯一。∎

五族 5/5 全部命中最小解。

ε = 1 由最小解定出　九点 36 ∈ D 但 36 < 37 被排除，最小解只能取 37 = 36+1。反证：若只许 ε=0，最小解是 40：

min { w ∈ D : w ≥ 37 , ε = 0 } = 40  ≠ 37

∴ 闰位不是「允许」出来的，是「最小解落在 d+1 上」的必然产物。这也解释为何 ε=1 只在九点 —— 其余四族的 N 恰为 4 的倍数。

N 的来源，四条皆可复算

三天      Y/10 = 36.45 天 ÷ 3 天/根 = 12 根
12/144方  月线 12 根/年 × 十进 10 = 120 根
九点      360/10 = 36（划十分圆）加闰 1 = 37
新股      360/18 = 20（首月恰一箱）

三条边界须分清：下界 max(n,N) 决定 w；上界 N_avail（数据长度）只保证解存在、不参与选点 —— 所以同族的 w 不随标的改变；离散约束 D 由 W1 给。推导只依赖下界，下界不含自由度 → w 无自由度。

十、判定与边界

九项检验如实分强弱：T-3/T-4 是恒等（不供信息）、T-6/T-7（n/80 ∈ ℚ）对任意整数恒真、无筛选力，已降级为释义；真约束只有 T-1、T-2、T-5、T-8、T-9 五项。

三处边界（已界定，非待办）

1. 回归年　365.2422 − 364.5 = 0.7422 天 = 0.165 格/年，6.06 年溢出 1 格，由状态重置吸收（箱体平行并列、到点重启）。360/80 ≈ 365.2422/81 差 0.2% 是数值巧合，不是定理；若以「接近回归年」作正确性论据，等于把巧合当证明 —— 且真按回归年反推 g = 4.5092，闭合立即破坏。
2. 新股填充量　S = 90 固定（S/g = 20 ∈ ℤ），实际根数 n′ ∈ [18,23] 是数据长度。闭合由 S/g 保证，与 n′ 无关；新股是「20 格箱在首月的部分填充」，不是第六个 n。
3. 椭圆　e ≠ 0 的退化情形不进结构层，交给标度因子 k。

十一、收口

根源分两层：原子层 {2,3,5}（拿什么造），构造层 8=2³ / 9=3² / 10=2·5（怎么造）。
45 = 5×9 给出母角；g = (5·9)/(2·5) = 9/2 —— 5 在此时精确约去，故标准量与十进制无关。
80 = 2⁴·5 与 81 = 3⁴ 差 1，此 1 是 (n+1)²−n(n+2) ≡ 1 在 n=8 的取值；相邻故互质，互质故 9/2 是圆与年的最大公共单位；最大故唯一；唯一故闭合。
残差成为单位（一格），体系即闭合。

两栏的收口　n 由方定（边长 ÷ 0.45），w 由圆定（(w−ε) | 360）。27 与 32 不在 360 的约数表内并非缺陷 —— 它们在方的栏里：27 × 0.45 = 12.15、32 × 0.45 = 14.4 = 144 mm = 12²。校验 n 量边长，校验 w 查 27 点域，两把尺子⛔ 不串用。

自由量清单：空。体系的输入只有两样 —— 约定（数与圆）与族定义 {(nᵢ,Nᵢ)}，其余三十一条定理皆可纸上复算。

唯一需要如实标注的是：n 与 N 同级，都是族定义的一部分（n = 27 本身也不是推导出来的）。若要求连「族有几个、n 为何是 27」也要推导，那已超出 D0 对闭合的定义 —— 这是边界的声明，不是待办的遗留。

全文（含 §1.0 代数几何同构、§1.1.1 原子分解、§1.1.2 分母资格表、§3.1.1 方圆两栏、§3.2.1 两族区分、各节「落地」小节、附录 A–D 与 31 条定理总表）见工具箱 _内部文件/文档/数学闭合_261028.md。本页为移动端摘要版，口径与全文逐条一致。