范围：格 · 价格刻度 · 时间刻度 · 45° 线 · 五种箱族 · 正方拆分 · 三种平均。
不涉及判据、口径、参数的变更。
一把尺子量到底
尺子是 4.5 mm 一格、一格一个固定倍率 g、两轴共用同一刻度。换箱族、换级、换标的，换的都是量几格，不是用哪把尺。
§1 三个不变量
| 项 | 定义 | 出处 |
|---|---|---|
| 一格 | CELL_MM = RES_MMB = 4.5 mm，时间轴与价格轴共用 | 第 142 行 |
| 价格刻度 | price_mm(P) = 144 · ln(P/lo) / ln(hi/lo) | 第 2674 行 |
| 时间刻度 | a45_mm(m) = m × 4.5 | 第 2666 行 |
| 向上 45° 线 | 两刻度读数相等处：P*(m) = lo · (hi/lo) ** (m/32)（m 为格序号，不是长度） | 第 2682 行 |
| 格倍率 | g = (hi/lo) ** (1/32) | 第 2700 行 |
两刻度值域同为 0..144 mm、量纲相同，读数相等处即 45°，斜率恒为 1。price_mm 的原文：与 a45_mm 同一把尺（同为 0..144mm）⟹ 两尺读数相等处即 45° 线。
落格 某点在时间刻度上的位置（格序号 m）为整数，称落在格上。整数毫米不等于整数格：96.000 mm 是整数毫米，但 96 ÷ 4.5 = 21.333，不在格上。
§2 五种箱族同尺
五族边长均等于「格数 × 4.5 mm」，族间差异只在格数。
| 族 | WIN_FAM (n,N) | 箱记号 | n × 4.5mm | boxWinBars |
|---|---|---|---|---|
| 12方 | (27, 120) | 121.5×121.5 | 121.50 | 120 |
| 144方 | (32, 120) | 144×144 | 144.00 | 120 |
| 三天 | (12, 12) | 54×54 | 54.00 | 12 |
| 九点 | (20, 37) | 9×20 | 90.00 | 37 |
| 新股 | (20, 20) | 90×90 | 90.00 | 20 |
boxWinBars 的 w（120 / 12 / 37 / 20）是准入与框住口径，不是绘图宽度，与边长不同维。
§3 子方保角：换级不换尺
按 2 的幂递归拆分，各级格数减半、价格上界开一次方，格倍率 g 不变。
| 级 | 格数 | 边长mm | 价格上界 | 本级 g | 等全方 g |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 32 | 144.0 | 135.0000 | 1.0710754831 | 是 |
| 1 | 16 | 72.0 | 45.0000 | 1.0710754831 | 是 |
| 2 | 8 | 36.0 | 25.9808 | 1.0710754831 | 是 |
| 3 | 4 | 18.0 | 19.7411 | 1.0710754831 | 是 |
| 4 | 2 | 9.0 | 17.2080 | 1.0710754831 | 是 |
| 5 | 1 | 4.5 | 16.0661 | 1.0710754831 | 是 |
推导 本级倍率 = (top/lo)^(1/cells)，其中 top = lo·R^(1/2^k)、cells = 32/2^k，指数 = (1/2^k)/(32/2^k) = 1/32，与 k 无关。六级误差 < 1e-12。
价格上界随级递减，是使各级斜率仍为 1 的条件：上界不随级降，45° 线在子方内就不是 45°。圆无论大小都是 360 度。
§4 跨标的同尺
同一把尺量不同价位的箱，读出的是倍率位置，不是点数。
| 箱 | R | 几何中点价 | 线性中点价 | 相对差 |
|---|---|---|---|---|
| 15 → 135 | 9 | 45.0000 | 75.0000 | −40.00% |
| 5 → 45 | 9 | 15.0000 | 25.0000 | −40.00% |
| 100 → 900 | 9 | 300.0000 | 500.0000 | −40.00% |
同一 4.5 mm 在不同价位代表的涨幅相等，前提是价格轴走等比。价格轴改线性，4.5 mm 在不同价位代表的涨幅不同——弯的是纸，不是尺。
§5 三种平均
5.1 定义
归一化区间 [a, b]，取 a = 1/2、b = 1，即箱的上半区：起点第 16 格、终点第 32 格。
| 名称 | 公式 | 坐标含义 |
|---|---|---|
| 算术平均 AM | (a+b)/2 | 线性坐标的中点 |
| 几何平均 GM | √(ab) | 对数坐标的中点 |
| 调和平均 HM | 2ab/(a+b) | 倒数坐标的中点 |
AM = 0.7500000 GM = 0.7071068 HM = 0.6666667
5.2 顺序
HM < GM < AM，严格不等。AM–GM–HM 不等式：对任意 a, b > 0，2ab/(a+b) ≤ √(ab) ≤ (a+b)/2，等号当且仅当 a = b。本场景 a = 1/2 ≠ b = 1，故严格。
5.3 32 格落格判定
三种平均中只有算术平均落在整数格上。
| 平均 | 归一化值 | ×32（格） | 落格 | 刻度读数 |
|---|---|---|---|---|
| 算术 | 0.7500000 | 24.000000 | 是 | 108.000000 mm |
| 几何 | 0.7071068 | 22.627417 | 否 | 101.823376 mm |
| 调和 | 0.6666667 | 21.333333 | 否 | 96.000000 mm |
推导 32 = 2⁵。AM = 3/4，3×32/4 = 24 ∈ ℤ（4 整除 32）；GM = √2/2，含无理因子 √2，乘任何 2 的幂仍无理；HM = 2/3，3 不整除 2⁵，乘任何 2 的幂仍非整数。
5.4 上半区三平均得 108
上半区两端点均为落格点：起点 第 16 格 = 72mm（箱的几何中点，见 5.6）、终点 第 32 格 = 144mm（箱的顶点）。三种平均落在
21.333 < 22.627 < 24.000 单位：格 2/3 √½ 3/4
三点同处一段宽 2.667 格的区间内，其中只有算术平均落在刻度上，即 m = 24 = 108 mm。
a45_mm(24) = 24 × 4.5 = 108.0000这是价格轴第 24 格（270°）。
144 方选股准入在时间轴：SEL144_WSEL = 112根 = 3.5 方 = 315°（= 7 × 45°）。
108 mm 与 112 根不是同一个位置：108 mm 落第 24 格（270°），112 根落第 3.5 方（315°），⛔ 不相代。
108 是上半区内三种平均中唯一落格的位置；21.333 与 22.627 在这把尺上无对应刻度。
5.5 各级自相似
| 级 | 格数 n | AM = 3n/4 | 落格 | 刻度 mm | GM | HM |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 32 | 24.000 | 是 | 108.000 | 22.6274 | 21.3333 |
| 1 | 16 | 12.000 | 是 | 54.000 | 11.3137 | 10.6667 |
| 2 | 8 | 6.000 | 是 | 27.000 | 5.6569 | 5.3333 |
| 3 | 4 | 3.000 | 是 | 13.500 | 2.8284 | 2.6667 |
| 4 | 2 | 1.500 | 否 | 6.750 | 1.4142 | 1.3333 |
| 5 | 1 | 0.750 | 否 | 3.375 | 0.7071 | 0.6667 |
推导 3n/4 ∈ ℤ ⟺ 4 | n ⟺ k ≤ 3（n = 2^(5−k)，4 | n 要求 5−k ≥ 2）。GM 与 HM 在任何一级均非整数，理由同 5.3。
3/4 链 108 → 54 → 27 → 13.5 止于第 4 级，再往下 6.75、3.375 为半格。
5.6 两个几何中点
| 名称 | 定义 | 值 | 刻度读数 | 格 |
|---|---|---|---|---|
价格的几何平均（box_gm，判据在用） | √(lo·hi) | 45.000000 | 72.000 mm | m = 16（整格） |
| 格坐标的几何平均（5.1–5.5 讨论对象） | √(1/2) | —— | 101.823 mm | m = 22.627（非整格） |
两者相差 22.627 − 16 = 6.627 格 = 29.82 mm。价格轴是对数映射，价格开方在对数轴上等于格数减半：
price_mm(√(lo·hi)) = 144 · ln(√(lo·hi)/lo) / ln(hi/lo) = 144 · (1/2) = 72 mm = 16 格
在格坐标上取几何平均才是 √(1/2) = 0.7071 ⟹ 22.627 格。判据使用前者；5.1–5.5 讨论的是后者所在的坐标，用于说明 3/4 的整数性。
§6 七档预布置
| 刻度 mm | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 90 | 108 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 格序号 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 20 | 24 |
| 分数 | 1/4 | 5/16 | 3/8 | 7/16 | 1/2 | 5/8 | 3/4 |
代入 P*(m) = lo·(hi/lo)^(m/32) 得七个预设价位。反算格序号：m = 32·ln(P/lo)/ln(hi/lo)。
性质由档位定（走到哪个分数位），力度由剩余格数定（离 144 mm 还有多远）。七档的格序号 /32 分母全为 2 的幂，无一为 2/3 或 √½。
§7 代码现状
| 项 | 现状 |
|---|---|
| 全方一级（32 格） | 已实现。p_eq_t 除数 RES_M = 32，a45_mm(m) = m × 4.5 |
| 子方各级 | 未实现。grid_nb_m(k, w) 有 w 参数，仓库内无调用方传 w；§3、5.5 为恒等式验证，非绘图结果 |
| 3/4 落格 | 止于第 4 级：108 / 54 / 27 / 13.5；第 5 级 m = 1.5 为半格 |
| 54 的位置 | sel_res（res_point）里是生效刻度（要求 step ∈ RES_STEPS）；sel_a45 里不参与 |
| 45° 线周期 | grid_nb_m 走满不归零、每箱各自 0..144 循环，故 P*(k) ≡ P*(k+32)。江恩原文的 45° 线为每单位时间加固定点数、持续上升，与本体系的等比线不同 |
| 看图正方档 | squareLock()（第 6934 行）：k = cells × barw / dref ⟹ 箱体屏高 ≡ 箱体屏宽，1×1 线恒 45°。调用条件第 7594 行，正方档执行，全景档与自由档不执行 |
§8 结论
尺子是 4.5 mm 一格、一格一个固定倍率g、两轴同一刻度；正方边长永远是「格数 × 4.5 mm」，45° 永远是 45°。
换族、换级、换标的，换的都是量几格，不是用哪把尺。
在这把尺上，上半区的三种平均（2/3、√½、3/4）只有一个能落在刻度上，那个位置是 m = 24、108 mm。
全文（含定义 6 条、五族同尺、子方保角推导、跨标的同尺、三种平均 5.1–5.6、判据现状、应用、代码现状、引用行号表）见工具箱 _内部文件/文档/一把尺子量到底_261102.md，298 行。本页为移动端摘要版，数值与全文逐条一致，全部由正本 _箱体规则_逐步.py 直接 import 运行得出。